Od trzech boków do sinusa, cosinusa i tangensa. Krok po kroku, na małych liczbach, tak żebyś na sprawdzianie wiedział, co liczysz i dlaczego.
Nie licz, zgadnij. Zapamiętaj swój wybór, wrócimy do niego w rozdziale 04.
Wybierz jedną odpowiedź.
Jeden kąt prosty, trzy boki z nazwami i twierdzenie, które je łączy.
Trójkąt prostokątny ma jeden kąt równy 90°. Na rysunku oznacza się go małym kwadracikiem, tutaj przy wierzchołku C. W każdym zadaniu zaczynaj od znalezienia tego kwadracika. Od niego zależą nazwy wszystkich boków, a bez nazw nie użyjesz żadnego wzoru z tego działu.
Bok, który nie dotyka kąta prostego, to przeciwprostokątna. U nas to AB, oznaczamy ją literą c. Jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta. To dobry test: jeśli wyszła ci krótsza niż inny bok, w obliczeniach jest błąd.
Dwa pozostałe boki, te które tworzą kąt prosty, to przyprostokątne. Oznaczamy je a i b. Łatwo zapamiętać: przyprostokątne są „przy” kącie prostym, przeciwprostokątna jest „przeciw” niemu.
Zbuduj kwadrat na każdym boku. Przyprostokątne 3 i 4 dają kwadraty z 9 i 16 kratkami. Kwadrat na przeciwprostokątnej 5 ma 25 kratek, czyli tyle, ile dwa mniejsze razem. To twierdzenie Pitagorasa:
Gdy znasz przeciwprostokątną i szukasz przyprostokątnej, przenosisz kwadrat na drugą stronę i odejmujesz. Dla a = 6 i c = 10:
Pozostałe dwa kąty, α przy A i β przy B, są ostre. Suma kątów w trójkącie to 180°, a 90° zabrał kąt prosty. Zostaje α + β = 90°. Jeśli α = 30°, to β = 60°, bez żadnego dalszego liczenia.
Przeciwległa i przyległa zależą od tego, z którego kąta patrzysz.
Teraz wybieramy jeden kąt ostry i patrzymy na trójkąt z jego miejsca. Zaznaczony jest kąt α przy wierzchołku A. Przeciwprostokątna zostaje przeciwprostokątną zawsze, ale obie przyprostokątne dostaną nazwy zależne od α.
Przyprostokątna, która leży naprzeciw kąta α i w ogóle go nie dotyka, to przyprostokątna przeciwległa. Tutaj to BC. Sprawdź palcem: wierzchołek A nie leży na tym boku.
Przyprostokątna, która jest ramieniem kąta α, to przyprostokątna przyległa. Tutaj to AC. Kąt α leży między przyległą a przeciwprostokątną. Masz komplet trzech nazw: przeciwległa, przyległa, przeciwprostokątna.
Zmieniamy punkt widzenia na kąt β przy B. Bok BC jest teraz przyległy, a AC stał się przeciwległy. Boki się nie zmieniły, zmieniło się miejsce, z którego patrzysz. Dlatego w każdym zadaniu najpierw zaznacz, o który kąt chodzi.
W zadaniach trójkąt rzadko leży wygodnie. Obróciliśmy go, a nazwy działają tak samo. Nie szukaj „boku na dole” ani „boku z prawej”. Szukaj kwadracika kąta prostego, potem kąta α, i dopiero wtedy nazywaj boki.
Trzy ilorazy boków, które opisują, jak stromy jest kąt.
Sinus kąta α to iloraz przyprostokątnej przeciwległej i przeciwprostokątnej. W trójkącie o bokach 3, 4, 5:
Sinus nie jest długością żadnego boku. To liczba bez jednostek, która opisuje kształt trójkąta.
Cosinus kąta α to przyprostokątna przyległa przez przeciwprostokątną:
Sinus i cosinus mają ten sam mianownik, przeciwprostokątną. Różnią się tylko licznikiem.
Tangens kąta α to przeciwległa przez przyległą. Przeciwprostokątnej w nim nie ma:
Tangens mówi, o ile się wznosisz na każdy krok w poziomie. Tak samo liczy się nachylenie drogi albo dachu.
Weź trójkąt 6, 8, 10. Kąt α jest ten sam, a sinus to 6/10 = 0,6, jak wcześniej. Trójkąty o tych samych kątach są podobne: wszystkie boki rosną w tej samej proporcji, więc ilorazy się nie zmieniają. Sinus zależy tylko od kąta, nie od wielkości trójkąta. To najważniejsza myśl całego działu.
W sinusie i cosinusie mianownikiem jest przeciwprostokątna, najdłuższy bok. Dla kąta ostrego oba wyniki leżą więc między 0 a 1. Gdy kąt rośnie, przeciwległa rośnie i sinus też, aż do sin 65° ≈ 0,91. Cosinus w tym czasie maleje. Tangens może być dowolnie duży, bo dzielisz przez przyległą, która się kurczy.
Trzy kąty, których wartości musisz znać, i skąd się one biorą.
Narysuj kwadrat o boku 1 i poprowadź przekątną. Powstają dwa trójkąty prostokątne równoramienne, a ich kąty ostre mają po 45°. Długość przekątnej z Pitagorasa: 1² + 1² = 2, więc przekątna to √2.
Liczysz z definicji. Przeciwległa i przyległa mają po 1, przeciwprostokątna √2:
Pierwiastek usuwasz z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez √2.
Weź trójkąt równoboczny o boku 2. Każdy jego kąt ma 60°. Wysokość dzieli go na dwie połówki. W każdej przeciwprostokątna ma 2, krótsza przyprostokątna 1, a wysokość z Pitagorasa wynosi √(4 − 1) = √3. Kąty to 30° przy górze i 60° przy podstawie.
Z połówki odczytasz sześć wartości. Uważaj, który kąt bierzesz: naprzeciw 30° leży bok 1, naprzeciw 60° leży bok √3.
Sinusy dla 30°, 45° i 60° to po kolei √1/2, √2/2, √3/2. Pod pierwiastkiem rośnie 1, 2, 3, a √1 to po prostu 1. Cosinusy to ten sam ciąg od końca. Tangens dostaniesz, dzieląc sinus przez cosinus. Wystarczy pamiętać wiersz sinusów, resztę odtworzysz.
Wracamy do pytania z początku. Drabina to przeciwprostokątna, 5 m. Wysokość na ścianie leży naprzeciw kąta 60°, więc to przyprostokątna przeciwległa i liczysz sinusem:
Wysokość jest bliska długości drabiny, bo 60° to dość stromy kąt.
Jedna metoda na każde zadanie: znane, szukane i funkcja, która je łączy.
Rozwiązać trójkąt to znaleźć brakujące boki lub kąty. Tu znasz przeciwprostokątną c = 10 i kąt α = 30°, a szukasz boku a. Na rysunku zaznacz zawsze trzy rzeczy: kąt, bok znany i bok szukany. Potem nazwij oba boki względem tego kąta.
Bok a leży naprzeciw α, a znasz przeciwprostokątną. Przeciwległa i przeciwprostokątna to sinus:
Niewiadoma stoi w liczniku albo w mianowniku. Mnożysz albo dzielisz, żeby ją wyciągnąć.
Bok b przylega do α. Przyległa i przeciwprostokątna to cosinus:
Sprawdź Pitagorasem: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10². Zgadza się. Zostaw wynik dokładny, 5√3, chyba że polecenie każe zaokrąglić.
Teraz znasz przyprostokątne 7 i 24, a szukasz kąta α. Przeciwległa i przyległa to tangens:
Tablice czytasz wtedy od drugiej strony: szukasz w kolumnie tangensa wartości najbliższej 0,292 i odczytujesz kąt.
Typowe zadanie z treścią: drzewo rzuca cień długości 12 m, a promienie słońca padają pod kątem 35°. Wysokość leży naprzeciw kąta, cień do niego przylega. To tangens:
Zawsze rób rysunek, nawet gdy zadanie go nie daje. Połowa punktów to dobrze nazwane boki.
Wzory, które z jednej wartości dają pozostałe.
Weź trójkąt, w którym przeciwprostokątna ma długość 1. Wtedy sin α = przeciwległa / 1, czyli przeciwległa ma długość sin α, a przyległa cos α. Pitagoras daje od razu jedynkę trygonometryczną:
To po prostu Pitagoras zapisany innymi literami.
To najczęstsze zadanie z działu. Kąt α jest ostry i sin α = 5/13. Z jedynki:
Bierzesz pierwiastek dodatni, bo dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Możesz też narysować trójkąt 5, 12, 13 i odczytać wszystko z niego.
Tangens to przeciwległa przez przyległą, a w trójkącie z przeciwprostokątną 1 te boki to sin α i cos α:
Na rysunku widać to inaczej: w trójkącie o przyległej równej 1 przeciwległa ma długość tg α. Przydaje się, gdy masz sinus i cosinus, a pytają o tangens.
Drugi kąt ostry ma 90° − α. Dla niego przeciwległą jest bok, który dla α był przyległy. Stąd:
Przykład: sin 60° = cos 30°. Dlatego w tabeli sinusy i cosinusy to te same liczby w odwrotnej kolejności.
Na maturze pojawiają się też kąty rozwarte. Punkt na okręgu przechodzi na lewą stronę. Wysokość zostaje nad osią, więc sinus jest dodatni, ale przyległa idzie w lewo i cosinus robi się ujemny:
Przykład: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2. Tangens kąta rozwartego też jest ujemny.
Sinus działa też w zwykłym trójkącie. Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, wysokość to h = b · sin γ. Stąd pole:
Ten wzór masz w tablicach, ale gdy wiesz, skąd się bierze, nie pomylisz kąta: to zawsze kąt między podanymi bokami.
Trójkąty o tych samych kątach mają boki w tych samych proporcjach. Dlatego każdy kąt ma swój sinus, cosinus i tangens, bez względu na wielkość trójkąta. Gdy to rozumiesz, wzory przestają być do wkucia, bo każdy odczytasz z rysunku.
Wartości dla kątów innych niż 30°, 45° i 60° bierzesz z tablic albo z kalkulatora. Wzór na pole i wzory dla kątów rozwartych są w karcie wzorów CKE. Wystarczy wiedzieć, kiedy po nie sięgnąć.
| funkcja | 30° | 45° | 60° | 150° |
|---|---|---|---|---|
| sin | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1/2 |
| cos | √3/2 | √2/2 | 1/2 | −√3/2 |
| tg | √3/3 | 1 | √3 | −√3/3 |
Najpierw rozwiąż na kartce. Wskazówkę i rozwiązanie otwieraj dopiero, gdy utkniesz albo skończysz.
Przyprostokątne mają 5 i 12. Oblicz przeciwprostokątną i sinus kąta leżącego naprzeciw boku 5.
c² = 25 + 144 = 169, więc c = 13.
sin α = 5/13.
Kąt α jest ostry i sin α = 0,8. Oblicz cos α i tg α.
cos²α = 1 − 0,64 = 0,36, więc cos α = 0,6 (dodatni, bo α ostry).
tg α = 0,8 / 0,6 = 4/3.
Przeciwprostokątna ma 8, a jeden z kątów ostrych 60°. Oblicz obie przyprostokątne.
Przyległa do 60°: 8 · cos 60° = 8 · 1/2 = 4.
Przeciwległa: 8 · sin 60° = 8 · √3/2 = 4√3.
Sprawdzenie: 16 + 48 = 64.
Oblicz sin²30° + cos²60° + tg 45°.
(1/2)² + (1/2)² + 1 = 1/4 + 1/4 + 1 = 1,5.
Drabina długości 4 m stoi tak, że jej dolny koniec jest 1 m od ściany. Oblicz cosinus kąta między drabiną a ziemią oraz wysokość, na jaką sięga.
Narysuj: drabina to przeciwprostokątna, odległość od ściany to przyległa do kąta przy ziemi.
cos α = 1/4.
h² = 16 − 1 = 15, więc h = √15 ≈ 3,87 m.
Dwa boki trójkąta mają 4 i 10, a kąt między nimi 150°. Oblicz pole.
sin 150° = sin 30° = 1/2.
P = ½ · 4 · 10 · ½ = 10.
Uprość wyrażenie (sin α + cos α)² − 2 sin α cos α.
Rozpisz kwadrat sumy: (x + y)² = x² + 2xy + y².
sin²α + 2 sin α cos α + cos²α − 2 sin α cos α = sin²α + cos²α = 1.
Na kartce w kratkę narysuj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 2 i 5 kratek. Oznacz α przy końcu dłuższej przyprostokątnej. Oblicz tg α, sin α i cos α, a potem zmierz α kątomierzem i sprawdź w tablicach, czy tangens się zgadza.
Odpowiedzi tu nie ma. Sprawdzasz się sam: kątomierzem, tablicami i jedynką trygonometryczną.